4L的k7is说的是对的.
我想到的也是隔板法+容斥原理.
此题等价于求x1+x2+..+x7=k的不大于6的正整数解
还是以4L提出的x^30系数为例.
设A为所有正整数解集,Ai为A中xi大于6的解集,Bi为Ai的补集
于是系数=|B1∩B2∩..∩B7|
=|A|-|A1∪A2∪..∪A7|
=|A|-∑|Ai|+∑|Ai∩Aj|-...
=C(29,6)-C(7,1)C(23,6)+C(7,2)C(17,6)-C(7,3)C(11,6)
=12117
顺便一提,3L的x^15系数计算错误,正确答案是2807
最后附上所有结果,供参考
(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^7=
x^7 + 7 x^8 + 28 x^9 + 84 x^10 + 210 x^11 + 462 x^12 + 917 x^13 +
1667 x^14 + 2807 x^15 + 4417 x^16 + 6538 x^17 + 9142 x^18 +
12117 x^19 + 15267 x^20 + 18327 x^21 + 20993 x^22 + 22967 x^23 +
24017 x^24 + 24017 x^25 + 22967 x^26 + 20993 x^27 + 18327 x^28 +
15267 x^29 + 12117 x^30 + 9142 x^31 + 6538 x^32 + 4417 x^33 +
2807 x^34 + 1667 x^35 + 917 x^36 + 462 x^37 + 210 x^38 + 84 x^39 +
28 x^40 + 7 x^41 + x^42