Question

二次函数f（x）的二次项系数为负，且对任意实数x，恒有f（x）=f（4-x），若f（1-3x2）＜f（1+x+x2），则

Answer 1

解题思路：由已知中，二次函数f（x）的二次项系数为负，且对任意实数x，恒有f（x）=f（4-x），我们易判断出二次函数图象的形状，根据二次函数的性质，我们可以将f（1-3x²）＜f（1+x+x²）转化为一个绝对值不等式，解不等式即可得到答案．

∵对任意实数x，恒有f（x）=f（4-x），

则x=2是函数f（x）的对称轴，

又由二次函数f（x）的二次项系数为负，

故函数的开口方向朝下

则f（1-3x²）＜f（1+x+x²），可转化为

|2-（1-3x²）|＞|2-（1+x+x²）|

即|3x²+1|＞|-1+x+x²|

解得x∈（-∞，-[1/4]）∪（0，+∞）

故答案为：（-∞，-[1/4]）∪（0，+∞）．

点评：

本题考点： 二次函数的性质；一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次不等式的解法，其中根据二次函数的图象分析函数的性质，进而将不等式转化为一个一元二次不等式是解答本题的关键．