Question

若双曲线x2a−y2b＝1（a＞0，b＞0）和椭圆x2m+y2n＝1（m＞n＞0）有共同的焦点F1，F2．P是两条曲线的

Answer 1

解题思路：先根据双曲线

x

2

a

−

y

2

b

＝1

（a＞0，b＞0）和椭圆

x

2

m

+

y

2

n

＝1

（m＞n＞0）有共同的焦点F₁，F₂，根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF₁|与|PF₂|的表达式，代入即可求出|PF₁|²+|PF₂|²的值．

因为双曲线

x2

a−

y2

b＝1（a＞0，b＞0）和椭圆

x2

m+

y2

n＝1（m＞n＞0）有共同的焦点F₁，F₂，

设P在双曲线的右支上，左、右焦点F₁、F₂：

利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2

m①

|PF₁|-|PF₂|=2

a②

由①②得：|PF₁|=

m+

a，|PF₂|=

m-

a．

∴|PF₁|²+|PF₂|²=2（m+a）．

故选B．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据双曲线和椭圆的定义得到|PF1|与|PF2|的表达式，属中档题．