解题思路：（Ⅰ）原函数恰有一个极大值点和一个极小值点就是导函数恰有两个不等实根，利用根与系数的关系求出另一根即可．
（Ⅱ）根据开口向上和向下两种情况分别找到M-m，再解M-m≥1即可．
（Ⅰ）f′(x)＝
k(x2+c)−2x(kx+1)
(x2+c)2＝
−kx2−2x+ck
(x2+c)2，
由题意知f'（-c）=0，即得c2k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f'（x）=0得-kx2-2x+ck=0，
由韦达定理知另一个极值点为x=1（或x＝c−
2
k）．
（Ⅱ）由（*）式得k＝
2
c−1，即c＝1+
2
k．
当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜-2．
（i）当k＞0时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是减函数，在（-c，1）内是增函数．
∴M＝f(1)＝
k+1
c+1＝
k
2＞0，m＝f(−c)＝
−kc+1
c2+c＝
−k2
2(k+2)＜0，
由M−m＝
k
2+
k2
2(k+2)≥1及k＞0，解得k≥
2．
（ii）当k＜-2时，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）内是增函数，在（-c，1）内是减函数．
∴M＝f(−c)＝
−k2
2(k+2)＞0，m＝f(1)＝
k
2＜0M−m＝
−k2
2(k+2)−
k
2＝1−
(k+1)2+1
k+2≥1恒成立．
综上可知，所求k的取值范围为(−∞，−2)∪[
2，+∞)．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题考查利用导函数来研究函数的极值以及对分类讨论思想的考查．分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一，所以希望能加强这方面的训练．