解题思路:(Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值,从而求得B.
(Ⅱ)由余弦定理得可得a2+c2-ac=4,结合a2+c2-ac≥ac,可求得ac的最大值,代入△ABC的面积公式,可得答案.
(Ⅰ)由题意,∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
∴2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC,化为:2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC,
∴2sinA•cosB=sin(B+C).
∵在△ABC中,sin(B+C)=sinA,
∴2sinA•cosB=sinA,解得:cosB=[1/2],故B=[π/3].
(Ⅱ)若b=2,由余弦定理得:a2+c2-2ac•cos[π/3]=4,即a2+c2-ac=4
又a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,即ac≤4(取=时,a=c=
3),
故△ABC的面积S=[1/2]ac•sinB≤[1/2]×4×
3
2=
3,故△ABC的面积的最大值为
3.
点评:
本题考点: 余弦定理的应用;正弦定理.
考点点评: 本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理的运用,考查两角和公式、诱导公式,以及基本不等式的应用.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力,属于中档题.