(2012•台州模拟)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.

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  • 解题思路:(Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值,从而求得B.

    (Ⅱ)由余弦定理得可得a2+c2-ac=4,结合a2+c2-ac≥ac,可求得ac的最大值,代入△ABC的面积公式,可得答案.

    (Ⅰ)由题意,∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

    ∴2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC,化为:2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC,

    ∴2sinA•cosB=sin(B+C).

    ∵在△ABC中,sin(B+C)=sinA,

    ∴2sinA•cosB=sinA,解得:cosB=[1/2],故B=[π/3].

    (Ⅱ)若b=2,由余弦定理得:a2+c2-2ac•cos[π/3]=4,即a2+c2-ac=4

    又a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,即ac≤4(取=时,a=c=

    3),

    故△ABC的面积S=[1/2]ac•sinB≤[1/2]×4×

    3

    2=

    3,故△ABC的面积的最大值为

    3.

    点评:

    本题考点: 余弦定理的应用;正弦定理.

    考点点评: 本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理的运用,考查两角和公式、诱导公式,以及基本不等式的应用.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力,属于中档题.