Question

设函数f(x)＝−cos2x−4t•sinx2cosx2+2t2−6t+2(x∈R)

Answer 1

解题思路：（1）当t=1时，f（x）=（sinx-1）²-4，故当sinx=1时，f（x）有最小值等于-4．

（2）若t∈R，由f（x）=（sinx-t）²+t²-6t+1，分t＜-1、-1≤t≤1、t＞1三种情况分别求出f（x）的

最小值g（t）的解析式．

（3）由题意可得方程 t²-6t+1-kt=0 在[-1，1]内有且只有一个实根，分△=0和△＞0两种情况，分别求得求得

实数k的取值范围，再把得到的实数k的取值范围取并集，即得所求．

（1）当t=1时，f（x）=-cos²x-2sinx+2-6+2=sin²x-2sinx-3=（sinx-1）²-4，

故当sinx=1时，f（x）有最小值等于-4．

（2）若t∈R，∵f（x）=-cos²x-2tsinx+2t²-6t+2=sin²x-2tsinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，

且-1≤sinx≤1．

当t＜-1时，则当sinx=-1时，f（x）取得最小值g（t）=（-1-t）²+t²-6t+1=2t²-4t+2．

当-1≤t≤1时，则当sinx=t时，f（x）的最小值g（t）=t²-6t+1．

当t＞1时，则当sinx=1时，f（x）的最小值g（t）=（1-t）²+t²-6t+1=2t²-8t+2．

综上，g（t）=

2t2− 4t+ 2 ，t ＜−1

t2− 6t + 1， −1≤t ≤1

2t2− 8t +2 ，t ＞1．

（3）当-1≤t≤1时，关于t的方程g（t）=kt 即 t²-6t+1=kt．由题意可得

关于t的方程 t²-6t+1-kt=0 在[-1，1]内有且只有一个实根，

①当△=（6+k）²-4=0时，应有-1≤[6+k/2]≤1，解得 k=-4，或k=-8．

若 k=-4，方程有两个相等的根t=1，若 k=-8，方程有两个相等的根t=-1．

②当△=（6+k）²-4＞0时，即 k＜-8，或k＞-4时，

令h（t）=t²-6t+1-kt，由题意可得 h（-1）h（1）=（k+8）（-k-4）＜0，解得 k＜-8，或 k＞-4．

综合①②可得，当k≥-4，或k≤-8 时，关于t的方程g（t）=kt有且只有一个实根．

故所求的实数k的取值范围为（-∞，-8[∪[-4，+∞）．

点评：

本题考点： 三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的最值．

考点点评： 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．