首先,我们可以看到,A点,PA,PB,PD是两两垂直的,那么我们就以A为原点建立空间直角坐标系
为了计算出来的都是正值,减小计算难度,我们令AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴
第一问,我们先要求出两个平面PAD和PCD的法向量,平面PAD,明显在形内存在一个法向量,就是向量AB,我们令他为向量u=(1,0,0),然后,求平面PCD的法向量,CD很明显了,向量CD=(0.5,0,0),D点坐标是(0,0.5,0),P点是(0,0,0.5),所以向量PD=(0,0.5,-0.5),法向量与向量CD和向量PD垂直就不用说了吧,求出平面PCD的法向量是向量v=(0,1,1),向量u点积向量v,=0,所以两个法向量垂直,推出平面PAD垂直于平面PCD
第二问,AC与PB所成的角,还是先求向量,向量AC=(0.5,0.5,0),向量PB=(1,0,-0.5),我们令两个直线的夹角为θ,cosθ=两个向量的数量积除以两个向量的模,不用说了吧,计算完了是cosθ=五分之根号10
第三问,平面AMC与平面BMC所成二面角,首先我们可以明显看出这个角是锐角,那么他的cos值就是正值,还是求法向量,关键是M是PB中点,要知道M的坐标,M=(0.5,0,0.25),向量AC=(0.5,0.5,0)向量AM=(0.5,0,0.25),求出平面ACM的法向量是向量w=(1,-1,-2),再求平面BMC的法向量,我就简写了,平面BCM的法向量x=(1,1,2),这个二面角显然是锐角,所以cosθ的绝对值=两个向量的数量积除以两个向量的模,不用说了吧,求出这个cosθ=三分之二,这个题就解完了
累死我了,写了600字,老大有追加的加分没o(∩_∩)o...