Question

已知a为实数,那么代数式|a-1|+|a-2|+|a-3|+|a-4|的取值有没有最小值；如果没有,请说明理由.

Answer 1

需要分段考虑

①a≤1时,原式=1-a+2-a+3-a+4-a=10-4a,则a=1时有最小值6；

②1≥a≥2时,原式=a-1+2-a+3-a+4-a=8-2a,则a=2时有最小值4；

③2≥a≥3时,原式=a-1+a-2+3-a+4-a=4；

④3≥a≥4时,原式=a-1+a-2+a-3+4-a=2a-2；则a=3时有最小值4；

⑤a≥4时,原式=a-1+a-2+a-3+a-4=4a-10；则a=4时有最小值6；

综上所述,当a=2~3时有最小值4.