a1=4>0,n≥2时,an的表达式为两算术平方根之和 的一半,又算术平方根恒非负,因此{an}各项均非负,√Sn恒有意义.
n≥2时,
an=Sn-S(n-1)=[√Sn+√S(n-1)]/2
[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)]=[√Sn+√S(n-1)]/2
[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1) -1/2]=0
只有当√Sn=0,√S(n-1)=0时,√Sn+√S(n-1)=0,又√S1=√a1=√4=2>0,因此√Sn+√S(n-1)恒>0
等式两边同除以√Sn+√S(n-1)
√Sn-√S(n-1)- 1/2=0
√Sn-√S(n-1)=1/2,为定值.
√S1=√a1=√4=2,数列{√Sn}是以2为首项,1/2为公差的等差数列.
√Sn=2+(1/2)(n-1)=(n+3)/2
Sn=(n+3)²/4
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=(n+3)²/4 -(n+2)²/4=(2n+5)/4
n=1时,a1=(2+5)/4=7/4≠4
数列{an}的通项公式为
an=4 n=1
(2n+5)/4 n≥2