（Ⅰ）x＞0时,f（x）=（x2-2ax）ex,∴f'（x）=（2x-2a）ex+（x2-2ax）ex=[x2+2（1-a）x-2a]ex（1分）
由已知得,f′( 2
)=0,∴2+2 2
-2a-2 2
a=0,解得a=1．（2分）
∴f（x）=（x2-2x）ex,∴f'（x）=（x2-2）ex．
当x∈(0, 2
)时,f'（x）＜0,当x∈( 2
,+∞)时,f'（x）＞0．又f（0）=0,（3分）
当b=1时,f（x）在（-∞,0）,( 2
,+∞)上单调递增,在(0, 2
)上单调递减．（4分）
（Ⅱ）由（1）知,当x∈(0, 2
)时,f（x）单调递减,f(x)∈((2-2 2
)e 2
,0)
当x∈( 2
,+∞)时,f（x）单调递增,f(x)∈((2-2 2
)e 2
,+∞)．（2分）
要使函数y=f（x）-m有两个零点,则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时,m=0或m=(2- 2
)e 2
；（3分）
②当b=0时,m∈((2-2 2
)e 2
,0)；（4分）
③当b＜0时,m∈((2-2 2
)e 2
,+∞)（5分）
（Ⅲ）假设存在,x＞0时,f9x）=（x2-2x）ex,∴f'（x）=（x2-2）ex
∴f（2）=0,f'（2）=2e2
函数f（x）的图象在点（2,f（2）处的切线l的方程为：y=2e2（x-2）（1分）
直线l与函数g（x）的图象相切于点P（m,n）m∈[e-1,e],
∴n=clnm+b,g'（x）=c
x
,所以切线l的斜率为g'（m）=c
m
所以切线l的方程为y-n=c
m
（x-m）
即l的方程为：y=c
m
x-c+b+clnm（2分）
得 c
m
=2e 2
-c+b+clnm=-4e 2
⇒ c=2e 2
m
b=c-clnm-4e 2
得b=2e2（m-mlnm-2）其中m∈[e-1,e]（3分）
记h（m）=2e2（m-mlnm-2）（其中m∈[e-1,e]
∴h'（m）=2e2（1-（lnm+1））=-2e2lnm
令h'（m）=0⇒m=1（4分）
m （e-1,1） 1 （1,e）
h'（m） + 0 -
h（m） 极大值-2e2
又h（e）=-4e2,h（e-1）=4e-4e2＞-4e2．
∵m∈[e-1,e],∴h（m）∈[-4e2,-2e2]
所以实数b的取值范围的集合：{b|-4e2≤b≤-2e2}（5分）