解题思路:延长AM到F,使MF=AM,连接BF,CF(如图),根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,得到ABFC为平行四边形,然后根据平行四边形的性质得到FB=AC=AE,∠BAC+∠ABF=180°,再由已知的∠BAD=∠CAE=90°得到∠BAC+∠DAE=180°,从而得到∠DAE=∠ABF,再由已知的等腰直角三角形ABD得到AB=AD,利用SAS求证△DAE≌△ABF,最后根据全等三角形的对应边相等即可得证.
证明:延长AM到F,使MF=AM,连接BF,CF(如图)
∵BM=CM,AM=FM,
∴四边形ABFC为平行四边形.
∴FB=AC=AE,∠BAC+∠ABF=180°
又∵∠BAC+∠DAE=180°,
∴∠DAE=∠ABF,
又∵AD=AB,
∴△DAE≌△ABF(SAS),
∴DE=AF=2AM.
点评:
本题考点: 等腰直角三角形;三角形内角和定理;全等三角形的判定与性质.
考点点评: 此题考查学生对等腰三角形的判定与性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定与性质的理解和掌握,解答此题的关键是延长AM到F,使MF=AM,连接BF,求证两次三角形全等,即可证明DE=2AM.