等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd．
⑶若{ a }、{ b }为等差数列,则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n ,在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d,特别地,当m = 1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等）,那么当{a }为等差数列时,有：a + a + a + … = a + a + a + … ．
⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd( k为取出项数之差)．
⑺如果{ a }是等差数列,公差为d,那么,a ,a ,…,a 、a 也是等差数列,其公差为－d；在等差数列{ a }中,a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )
⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时,等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时,等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时,等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a ,a ,a 为等差数列中的三项,且a 与a ,a 与a 的项距差之比 = （ ≠－1）,则a = ．
5．等差数列前n项和公式S 的基本性质
⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列{ a }中,当项数为2n (n N )时,S －S = nd, = ；当项数为(2n－1) (n )时,S －S = a , = ．
⑶若数列{ a }为等差数列,则S ,S －S ,S －S ,…仍然成等差数列,公差为 ．
⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数),则 = ．
⑸在等差数列{ a }中,S = a,S = b (n＞m),则S = (a－b)．
⑹等差数列{a }中, 是n的一次函数,且点（n, ）均在直线y = x + (a － )上．
⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．①若a ＞0,公差d＜0,则当a ≥0且a ≤0时,S 最大；②若a ＜0 ,公差d＞0,则当a ≤0且a ≥0时,S 最小．
2.等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等比数列,其公比为q ( m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n ,在等比数列{ a }中有：a = a · q ,特别地,当m = 1时,便得等比数列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地,如果t ,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且t + k,p,…,m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等),那么当{a }为等比数列时,有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．
⑷若{ a }是公比为q的等比数列,则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列,其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }．
⑸如果{ a }是等比数列,公比为q,那么,a ,a ,a ,…,a ,…是以q 为公比的等比数列．
⑹如果{ a }是等比数列,那么对任意在n ,都有a ·a = a ·q ＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时,等比数列为递增数列；当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时,等比数列为递减数列；当q = 1时,等比数列为常数列；当q＜0时,等比数列为摆动数列．
等比数列前n项和公式S 的基本性质
⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列,那么,它的前n项和公式是S =
也就是说,公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在q = 1处．因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1,如果q可能等于1,则需分q = 1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a ,q,n时,用公式S = ；当已知a ,q,a 时,用公式S = ．
⑶若S 是以q为公比的等比数列,则有S = S ＋qS ．⑵
⑷若数列{ a }为等比数列,则S ,S －S ,S －S ,…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ,次n项和与次n项积分别为S 与T ,最后n项和与n项积分别为S 与T ,则S ,S ,S 成等比数列,T ,T ,T 亦成等比数列 万能公式：sin2α=2tanα/(1+tan^2α)（注：tan^2α是指tan平方α)
cos2α=(1-tan^2α)/(1+tan^2α) tan2α=2tanα/(1-tan^2α)
升幂公式：1+cosα=2cos^2(α/2) 1-cosα=2sin^2(α/2) 1±sinα=(sin(α/2)±cos(α/2))^2
降幂公式：cos^2α=(1+cos2α)/2 sin^2α=(1-cos2α)/21）sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα, tan(2kπ+α)=tanα,cot(2kπ+α)=cotα,其中k∈Z;
(2) sin(-α)= -sinα,cos(-α)=cosα, tan(-α)= -tanα,cot(-α)= -cotα
（3）sin(π+α)= -sinα,cos(π+α)= -cosα, tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα
（4）sin(π-α)=sinα,cos(π-α)= -cosα, tan(π-α)= -tanα,cot(π-α)= -cotα
（5）sin(π/2-α)=cosα,cos(π/2-α)=sinα, tan(π/2-α)=cotα,cot(π/2-α)=tanα
(6) sin(π/2+α)= cosα,cos(π/2+α)= -sinα,
tan(π/2+α)= -cotα,cot(π/2+α)= -tanα
（7）sin(3π/2+α)= -cosα,cos(3π/2+α)=sinα,
tan(3π/2+α)= -cotα,cot(3π/2+α)= -tanα
（8）sin(3π/2-α)= -cosα,cos(3π/2-α)= -sinα,
tan(3π/2-α)= cotα,cot(3π/2-α)= tanα （k·π/2±α） ,其中k∈Z
注意：为方便做题,习惯我们把α看成是一个位于第一象限且小于90°的角；
当k是奇数的时候,等式右边的三角函数发生变化,如sin变成cos.偶数则不变；
用角（k·π/2±α）所在的象限确定等式右边三角函数的正负. 例：tan(3π/2 +α)= -cotα
∵在这个式子中k=3,是奇数,因此等式右边应变为cot
又,∵角(3π/2 +α）在第四象限,tan在第四象限为负值,因此为使等式成立,等式右边应为-cotα. 三角函数在各象限中的正负分布
sin：第一第二象限中为正；第三第四象限中为负 cos：第一第四象限中为正；第二第三象限中为负 cot、tan:第一第三象限中为正；第二第四象限中为负