已知函数f(x)=(x 2 -3x+3)e x 定义域为[-2,t](t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n。

1个回答

  • (I)因为f′(x)=(2x-3)e x+(x 2-3x+3)e x

    由f′(x)>0

    x>1或x<0,

    由f′(x)<0

    0<x<1,

    ∴函数f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,

    在(0,1)上单调递减,

    ∵函数f(x)在[-2,t]上为单调函数,

    ∴-2<t≤0,

    (II)证:因为函数f(x)在(-∞,0)∪(1,+∞)上单调递增,

    在(0,1)上单调递减,

    所以f(x)在x=1处取得极小值e,

    又f(-2)=13e -2<e,

    所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为f(-2),

    从而当t>-2时,f(-2)<f(t),即m<n;

    (III)证:因为

    即为x 0 2-x 0=

    令g(x)=x 2-x-

    从而问题转化为证明方程g(x)=

    =0在(-2,t)上有解并讨论解的个数,

    因为g(-2)=6-

    (t-1) 2=-

    g(t)=t(t-1)-

    =

    所以当t>4或-2<t<1时,g(-2)g(t)<0,

    所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且只有一解,

    当1<t<4时,g(-2)>0且g(t)>0,

    但由于g(0)=-

    <0,

    所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解,

    当t=1时,g(x)=x 2-x=0,解得x=0或1,

    所以g(x)=0在(-2,t)上有且只有一解,

    当t=4时,g(x)=x 2-x-6=0,

    所以g(x)=0在(-2,t)上也有且只有一解,

    综上所述,对于任意的t>-2,总存在x 0∈(-2,t),满足

    且当t≥4或-2<t≤1时,有唯一的x 0适合题意,

    当1<t<4时,有两个x 0适合题意。