(I)因为f′(x)=(2x-3)e x+(x 2-3x+3)e x,
由f′(x)>0
x>1或x<0,
由f′(x)<0
0<x<1,
∴函数f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,
在(0,1)上单调递减,
∵函数f(x)在[-2,t]上为单调函数,
∴-2<t≤0,
(II)证:因为函数f(x)在(-∞,0)∪(1,+∞)上单调递增,
在(0,1)上单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极小值e,
又f(-2)=13e -2<e,
所以f(x)在[2,+∞)上的最小值为f(-2),
从而当t>-2时,f(-2)<f(t),即m<n;
(III)证:因为
,
∴
,
即为x 0 2-x 0=
,
令g(x)=x 2-x-
,
从而问题转化为证明方程g(x)=
=0在(-2,t)上有解并讨论解的个数,
因为g(-2)=6-
(t-1) 2=-
,
g(t)=t(t-1)-
=
,
所以当t>4或-2<t<1时,g(-2)g(t)<0,
所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且只有一解,
当1<t<4时,g(-2)>0且g(t)>0,
但由于g(0)=-
<0,
所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解,
当t=1时,g(x)=x 2-x=0,解得x=0或1,
所以g(x)=0在(-2,t)上有且只有一解,
当t=4时,g(x)=x 2-x-6=0,
所以g(x)=0在(-2,t)上也有且只有一解,
综上所述,对于任意的t>-2,总存在x 0∈(-2,t),满足
,
且当t≥4或-2<t≤1时,有唯一的x 0适合题意,
当1<t<4时,有两个x 0适合题意。