Question

已知数列{xn}中，x1，x5是方程log22x-8log2x+12=0的两根，等差数列{yn}满足yn=log2xn，

Answer 1

解题思路：（1）由x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，能够推导出y₁=log₂x₁=6，y₅=log₂x₅=2，y_n=7-n．

（2）由y_n=log₂x_n=7-n，y_n+1=log₂x_n+1=6-n，知

x

n+1

x

n

＝

2

6−n

2

7−n

＝

1

2

，由此能够证明数列{x_n}为等比数列．

（3）

S

n

＝

2

6

(1−

1

2

n

)

1−

1

2

＝128(1−

1

2

n

)＜128

lim

n→∞

S

n

＝128

，由此能求出a的取值范围．

（1）∵x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，

∴log₂x₁+log₂x₅=8，log₂x₁•log₂x₅=12，

∵等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，

∴log₂x₁=6，log₂x₅=2．

y₁=log₂x₁=6，y₅=log₂x₅=2，y_n=7-n．

（2）∵y_n=log₂x_n=7-n，y_n+1=log₂x_n+1=6-n

∴

xn+1

xn＝

26−n

27−n＝

1

2，

∴数列{x_n}为等比数列．

（3）Sn＝

26(1−

1

2n)

1−

1

2＝128(1−

1

2n)＜128

lim

n→∞Sn＝128，

故所求a的取值范围为a≥128．

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；根与系数的关系；函数恒成立问题；等差数列的通项公式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查通项公式的求法、等比数列的证明和实数a的取值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．