Question

（2014•崇明县二模）平面直角坐标系xoy中，已知点（n，an）（n∈N*）在函数y=ax（a≥2，a∈N）的图象上，

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得a₁=b₁，可得b值，由a₂＜b₂可得a的范围，结合题意可得a值，可得所求通项公式；（2）（反证法）当a=2时，a_n=2ⁿ，假设存在数列{a_n}中的三项2^p，2^q，2^r成等差数列，由整数的奇偶性可得结论；（3）当b=1时，设m₀∈C，则m₀∈A且m₀∈B，设m₀=a^t，（t∈N^*），m₀=（a+1）s+1，（s∈N^*），可得s=

a

t

-1

a+1

，a^t-1能被a+1整除，分①当t=1，②当t=2n（n∈N^*），③当t=2n+1（n∈N^*）讨论可得．

（1）∵点（1，a₁）与点（1，b₁）重合，

∴a₁=b₁，∴a=a+1+b，解得b=-1，

由a₂＜b₂可得a²-2a-1＜0，解得1-

2＜a＜1+

2，

又∵a≥2且a∈N，∴a=2，

可得数列{b_n}是3为公差的等差数列，

∴{b_n}的通项公式为b_n=3n-1，

（2）（反证法）当a=2时，a_n=2ⁿ，

假设存在数列{a_n}中的三项2^p，2^q，2^r成等差数列，

其中p，q，r为正整数且p＜q＜r，则2×2^q=2^p+2^r，

化简可得2×2^q-p=1+2^r-p，

∵等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴等式不成立，假设不成立．

∴数列{a_n}中的任意三项都不能构成等差数列．

（3）当b=1时，设m₀∈C，则m₀∈A且m₀∈B，

设m₀=a^t，（t∈N^*），m₀=（a+1）s+1，（s∈N^*），

则a^t=（a+1）s+1，变形可得s=

at-1

a+1，

∵a，t，s∈N^*，且a≥2，

∴a^t-1能被a+1整除．

①当t=1时，s=[a-1/a+1]∉N^*；

②当t=2n（n∈N^*）时，a²ⁿ-1=[（a+1）-1]²ⁿ-1

=（a+1）²ⁿ+…-

C12n（a+1）+1-1，

∴a^t-1能被a+1整除．

③当t=2n+1（n∈N^*）时，a²ⁿ⁺¹-1=[（a+1）-1]²ⁿ⁺¹-1

=（a+1）²ⁿ⁺¹+…+

C12n+1（a+1）-2，

∴a^t-1不能被a+1整除．

综上当b=1时，c_n=a²ⁿ

点评：

本题考点： 等差数列的性质；数列的应用．

考点点评： 本题考查等差数列的性质，涉及分类讨论和反证法以及二项式定理的应用，属中档题．