Question

设an＝logn+1(n+2)，(n∈N*)，定义使a1a2a3…ak为整数的数k（k∈N*）叫做数列{an}的企盼数，

Answer 1

解题思路：先利用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+2），再根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，可得k=2ⁿ-2，进而由等比数列前n项和公式可得结论．

∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22×

log24

log23…×

log2(k+2)

log2(k+1)=log₂（k+2），

又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数

∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．

∴k∈[1，2009]内所有的企盼数的和M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

4(1−29)

1−2−2×9=2026

故答案为：2026．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查新定义，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．