已知函数f(x)=13x3−12nx2+mx,x∈R,

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  • 解题思路:(1)求出函数的导函数,由函数的减区间为(1,2),可知导函数对应方程的两根为1,2,利用跟与系数的关系列式可求n和m的值,代入原函数后求解对应的3次方程可得函数f(x)的零点;

    (2)函数f(x)在区间(1,2)上是减函数,说明其导函数在x∈(1,2)时小于0恒成立,结合二次函数的图象列出关于m,n的不等式组,即得到关于m,n的约束条件,建系后找出可行域,利用几何概型可求f(x)在区间(1,2)上是减函数的概率.

    (1)由f(x)=

    1

    3x3−

    1

    2nx2+mx,得:f′(x)=x2-nx+m,

    ∵f(x)的单调减区间是(1,2)∴方程x2-nx+m=0的两根为1和2,

    n=1+2

    m=1×2∴

    n=3

    m=2,∴f(x)=

    1

    3x3−

    3

    2x2+2x.

    令f(x)=0,即[1/3x3−

    3

    2x2+2x=0,得x=0或

    1

    3x2−

    3

    2x+2=0(*)

    对于方程(*),其判别式△=(−

    3

    2)2−4×

    1

    3×2=−

    5

    12<0,∴该方程无解.

    ∴函数f(x)的零点为0.

    (2)f′(x)=x2-nx+m,若f(x)在区间(1,2)上为减函数,则f′(x)<0对x∈(1,2)恒成立,

    由f′(x)是开口向上抛物线,所以

    f′(1)≤0

    f′(2)≤0],即

    1−n+m≤0

    4−2n+m≤0,

    建立直角坐标系,横轴为n轴,纵轴为m轴.

    直线1-n+m=0与n轴交点为A(1,0),

    直线4-2n+m=0与n轴交点为B(2,0),

    求解方程组

    1−n+m=0

    4−2n+m=0⇒

    m=2

    n=3,即交点C(3,2).

    所以,满足条件的可行域为图中阴影部分,

    可行区域面积为[1/2×1×2=1,

    故f(x)在区间(1,2)上是减函数的概率P=

    1

    3×3=

    1

    9].

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;几何概型.

    考点点评: 本题考查了利用导函数研究函数的单调性,考查了导函数的零点与原函数单调区间之间的关系,考查了函数零点的求法,训练了数形结合求解几何概型题,解答此题的关键是找准测度比,此题是中高档题.