Question

高二不等式(奥赛的)2设α+β+γ=兀．求证:对任意满足x+y+z=0的实数x,y,z有yz*)sin α)＾2 + z

Answer 1

即证yz+zx+xy=0.配方.上式左端=(x+ycosc+zcosb)^2+y^2+z^2-(ycosc+zcosb)^2+2yzcosa.而y^2+z^2-(ycosc+zcosb)^2+2yzcosa=(ysina)^2+(zsinb)^2+2yz(cos(b+c)-cosbcosc)=(ysinc-zsinb)^2.这里利用了a=2兀-b-c.

所以命题就成立了.

如果有兴趣,还可以看到等号成立的充要条件是x+ycosc+zcosb=0,ysinc=zsinb

进一步可以得到x/sina=y/sinb=z/sinc.