Question

设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数ac

Answer 1

（1）证明：假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，

即F（a，b）=acosx+bsinx与F（c，d）=ccosx+dsinx相同，

即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立．

特别令x=0，得a=c；

令x=

π

2 ，得b=d．

这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，

假设不成立．

故不存在两个不同点对应同函数．

（2）当f ₀（x）∈M时，

可得常数aa ₀，b ₀，使f ₀（x）=a ₀cosx+b ₀sinx，

f ₁（x）=f ₀（x+t）=a ₀cos（x+t）+b ₀sin（x+t）

=（a ₀cost+b ₀sint）+（b ₀cost-a ₀sint）sinx．

由于a ₀，b ₀，t为常数，

设a ₀cost+b ₀sint=m，b ₀cost-a ₀sint=n，

则m，n是常数．

从而f ₁（x）=f ₀（x+t）∈M．

（3）设f ₀（x）∈M，

由此得f ₀（x+t）=mcosx+nsinx，

（其中m=a ₀cost+b ₀sint，n=b ₀cost-a ₀sint）

在映射F下，f ₀（x+t）的原象是（m，n），

则M ₁的原象是

{（m，n）|m=a ₀cost+b ₀sint，n=b ₀cost-a ₀sint，t∈R}，

消去t得m ²+n ²=a ₀ ²+b ₀ ²，

即在映射F下，M ₁的原象{（m，n）|m ²+n ²=a ₀ ²+b ₀ ²}是以原点为圆心，

a 0 2 + b 0 2 为半径的圆．