Question

已知抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32相交于A、B两点,圆与y轴正半轴交于C点,直线l是圆的切线,交抛物线于M、

Answer 1

（2）设M(X1,Y1),N(X2,Y2),-4≤ X1 ≤4,-4≤ X2 ≤4,

M、N到抛物线的焦点距离和最大,等于到准线的距离和最大,也就是{Y1 + Y2}max,也就是 1/4 {X1^2 + X2^2}max (因为M,N点在抛物线上）.

设直线L:y = kx + b,代入抛物线方程x^2=4y,则

x^2 - 4kx -4b = 0

{X1^2 + X2^2}max = {（X1+X2)^2 - 2X1 X2}max = {16k^2 + 8b}max

又L与圆相切,圆点（0,0）到直线距离等于半径：b/√(1+k^2) = 4√2,

也就是 b^2 = 32(1+k^2),16k^2 = (b^2 - 32)/2

所以 {16k^2 + 8b}max = {b^2/2 + 8b - 16}max = 1/2{(b+8)^2 - 96} max

因为 b 为切线L在Y轴的截距,b>0,b最大时,切点在A点或B点(b=8),b最小时候,切点在C点(b=4√2).所以:

切点在A点的方程 y - 4 = x + 4,即 y = x + 8

切点在B点的方程 y - 4 = -x +4,即 y = -x + 8