解题思路：（1）由条件可建立关于a与c的方程组，解这个方程组就可求出抛物线的解析式．
（2）由于PE∥AQ，只需PE=AQ，四边形APEQ就是平行四边形，此时PE=AQ=2+t，就可得到点E（2+t，4-t），代入抛物线的解析式就可求出t．
（3）设点M的坐标为（m，n），根据条件就可建立关于m的方程，解这个方程就可得到m，代入新抛物线的解析式就可求出点M的坐标．
（1）由题可得：
−
−3
2a＝3
c＝4．
解得：
a＝
1
2
c＝4．
∴抛物线的解析式为y=[1/2]x2-3x+4．
（2）如图1，
由题可得：PE∥AQ，CP=BQ=t．
解方程[1/2]x2-3x+4=0得：x1=2，x2=4．
则点A（2，0），B（4，0）．AB=2．
当PE=AQ时，四边形PAQE是平行四边形，
此时PE=AQ=AB+BQ=2+t．
则点E的坐标为（2+t，4-t）．
∵点E在抛物线y=[1/2]x2-3x+4上，
∴[1/2]（2+t）2-3（2+t）+4=4-t．
解得：t1=2
2，t2=-2
2（舍去）．
∴当t=2
2秒时，P、A、Q、E四点构成平行四边形．
（3）存在．
由题可得：平移后的抛物线的解析式为y=[1/2]x2-3x+4+2=[1/2]x2-3x+6，且
CN=DF=2．如图2，
设点M的坐标为（m．n）．
∵S△MNC=2S△MFD，
S△MNC=[1/2]×2×
.
m.=
.
m.，
S△MFD=[1/2]×2×
.
3−m.=
.
3−m.，
∴
.
m.=2
.
3−m.．
∴m2=4（3-m）2．
解得：m1=2，m2=6．
当m=2时，n=[1/2]×22-3×2+6=2，点M（2，2）；
当m=6时，n=[1/2]×62-3×6+6=6，点M（6，6）．
∴点M的坐标为（2，2）或（6，6）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定．
考点点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程、平行四边形的判定等知识，有一定的综合性．需要注意的是：用坐标表示线段的长度时要加绝对值．