Question

已知[1/3]≤a≤1，若f（x）=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值M（a），最小值N（a），设g（a）=M（

Answer 1

（1）当[1/3]≤a≤[1/2]时N（a）=f（[1/a]），M（a）=f（1），

此时g（a）=f（1）-f（[1/a]）=a+[1/a]-2；

当[1/2]＜a≤1时N（a）=f（[1/a]），M（a）=f（3），

此时g（a）=f（3）-f（[1/a]）=9a+[1/a]-6；

∴g（a）=

a+

1

a−2

1

3≤ a≤

1

2

9a+

1

a−6

1

2＜a≤1…（6分）

（2）当[1/3]≤a≤[1/2]时，∵g（a）=a+[1/a]-2，∴g′（a）=1-[1

a2＜0，

∴g（a）在[

1/3]，[1/2]]上单调递减．

同理可知g（a）在（[1/2]，1]上单调递增

∴g（a）_min=g（[1/2]）=[1/2]．…（12分）