因式分解.1,(x^4 -4x^2 +1)(x^4 +3x^2 +1)+10x^42,已知a,b满足a^3+b^3+3a

2个回答

  • 第一题:

    全部展开得

    x^8-x^6-x^2+1

    =x^6(x^2-1)-(x^2-1)

    =(x^2-1)(x^6-1)

    =(x+1)(x-1)(x^3+1)(x^3-1)

    =(x+1)^2(x-1)^2(x^2+x+1)(x^2-x+1)

    第二题:

    a^3+b^3+3ab=1得

    (a+b)(a^2-ab+b^2)+3ab-1=0

    (a+b){(a+b)^2-3ab}+3ab-1=0

    (a+b)^3-1-3ab(a+b)+3ab=0

    (a+b-1){(a+b)^2+a+b+1}-3ab(a+b-1)=0

    (a+b-1){(a+b)^2+a+b+1-3ab}=0

    (a+b-1)(a^2+b^2+2ab+a+b+1-3ab)=0

    (a+b-1)(a^2+b^2-ab+a+b+1)=0

    左右两边同乘2,得

    (a+b-1)(2a^2+2b^2-2ab+2a+2b+2)=0

    (a+b-1)((a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2)=0

    故a+b-1=0或(a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2=0

    由a+b-1=0得a+b=1

    由(a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2=0得

    a-b=0,a+1=0,b+1=0,a=b=-1,此时a+b=-2

    第三题:

    2x^3+x^2-13x+6

    =2x^3+2x^2-13x+6-x^2

    =2x^3+(2x^2-13x+6)-x^2

    =2x^3-x^2+(2x-1)(x-6)

    =x^2(2x-1)+(2x-1)(x-6)

    =(2x-1)(x^2+x-6)

    =(2x-1)(x+3)(x-2)

    第四题:

    先慢慢尝试,猜测m=17

    18=4+6+8

    19=4+6+9

    接下来证明m不可能大于18

    当m>18时

    若m=2k(m是偶数)

    k>9

    m=4+6+2(k-5)

    并且2(k-5)不可能等于4 或 6

    另外

    若m=2k-1(m是奇数)

    k>10

    m=4+9+2(k-7)

    并且2(k-7)不可能等于 4 或 9

    也就是说大于等于18的数一定能拆成三个不同合数的和

    综上所述,m=17

    第五题:

    设ax^3+bx^2+1=(x^2-x-1)*(cx+d)

    整理得,ax^3+bx^2+1=cx^3+(d-c)x^2-(c+d)x-d

    比较系数

    a=c

    b=d-c

    0=c+d

    1=-d

    解得

    a=1

    b=-2

    c=1

    d=-1

    因式分解的十二种方法

    把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下:

    1、 提公因法

    如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.

    例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)

    x -2x -x=x(x -2x-1)

    2、 应用公式法

    由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.

    例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)

    a +4ab+4b =(a+2b)

    3、 分组分解法

    要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)

    例3、分解因式m +5n-mn-5m

    m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

    = (m -5m )+(-mn+5n)

    =m(m-5)-n(m-5)

    =(m-5)(m-n)

    4、 十字相乘法

    对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

    例4、分解因式7x -19x-6

    分析: 1 -3

    7 2

    2-21=-19

    7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

    5、配方法

    对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.

    例5、分解因式x +3x-40

    解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

    =(x+ ) -( )

    =(x+ + )(x+ - )

    =(x+8)(x-5)

    6、拆、添项法

    可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.

    例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

    bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

    =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

    =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

    =(c+b)(c-a)(a+b)

    7、 换元法

    有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.

    例7、分解因式2x -x -6x -x+2

    2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

    =x [2(x + )-(x+ )-6

    令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6

    = x [2(y -2)-y-6]

    = x (2y -y-10)

    =x (y+2)(2y-5)

    =x (x+ +2)(2x+ -5)

    = (x +2x+1) (2x -5x+2)

    =(x+1) (2x-1)(x-2)

    8、 求根法

    令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

    例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

    令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

    通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1

    则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

    9、 图象法

    令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

    例9、因式分解x +2x -5x-6

    令y= x +2x -5x-6

    作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2

    则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

    10、 主元法

    先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.

    例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

    分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列

    a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

    =(b-c) [a -a(b+c)+bc]

    =(b-c)(a-b)(a-c)

    11、 利用特殊值法

    将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.

    例11、分解因式x +9x +23x+15

    令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

    将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7

    注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值

    则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

    12、待定系数法

    首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.

    例12、分解因式x -x -5x -6x-4

    分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.

    设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

    = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

    所以 解得

    则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)