Question

操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交

Answer 1

解题思路：根据已知先证明Rt△BDM≌Rt△CDM₁从而得到BM=CM₁，然后再证明△MDN≌△M₁DN，从而推出MN=NM₁=NC-CM₁=NC-MB．

在证明时，需添加辅助线，采用“截长补短”法，借助三角形全等进行证明．

（1）BM+CN=MN

证明：如图，延长AC至M₁，使CM₁=BM，连接DM₁

由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，

∴∠ABD=∠ACD=90°．

∵BD=CD，

∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁

∴∠MDB=∠M₁DC，DM=DM₁

∴∠MDM₁=（120°-∠MDB）+∠M₁DC=120°．

又∵∠MDN=60°，

∴∠M₁DN=∠MDN=60°．

∴△MDN≌△M₁DN．

∴MN=NM₁=NC+CM₁=NC+MB．

（2）附加题：CN-BM=MN

证明：如图，在CN上截取CM₁，使CM₁=BM，连接MN，DM₁

∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，

∴∠DBM=∠DCM₁=90°．

∵BD=CD，

∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁

∴∠MDB=∠M₁DC，DM=DM₁

∵∠BDM+∠BDN=60°，

∴∠CDM₁+∠BDN=60°．

∴∠NDM₁=∠BDC-（∠M₁DC+∠BDN）=120°-60°=60°．

∴∠M₁DN=∠MDN．

∵ND=ND，

∴△MDN≌△M₁DN．

∴MN=NM₁=NC-CM₁=NC-MB．

点评：

本题考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．

考点点评： 此题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质及三角形全等的判定等知识；正确作出辅助线是解答本题的关键．该题是一个纯图形探索证明题，注意培养自己的探索精神和钻研精神．