解题思路：由题意可知，分数[1997/1999]的分子、分母加上同样一个数，使新分数约分后为[1999/2000]，根据分数的基本性质，把[1999/2000]的分子和分母同时乘2得到的分数是[3998/4000]，用这个分数的分子3998减原来的分子1997得2001，再用这个分数的分母4000减原来的分母1999也得2001；所以加上的这个数是2001；由此解答．
[1999/2000]=[1999×2/2000×2]=[3998/4000]；
3998-1997=2001；
4000-1999=2001；
所以，加上的这个数是2001．
也可以设加上的这个数是x，
[1997+x/1999+x]=[1999/2000]，
解得x=2001．
故答案为：2001．
点评：
本题考点： 分数的基本性质．
考点点评： 此题主要考查分数的基本性质的应用，分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变．由此解决问题．