Question

各项均为正数的等比数列{an}中，a2-a1=1．当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an=______．

Answer 1

解题思路：设出等比数列的公比，代入a₂-a₁=1后求出首项和公比的关系，把a₃用公比表示，利用二次函数求最值求出使a₃最小的q的值，则通项公式可求．

设等比数列的公比为q（q＞0），由a₂-a₁=1，得a₁（q-1）=1，

所以a1＝

1

q−1．

a3＝a1q2＝

q2

q−1=[1

−

1

q2+

1/q]（q＞0），

而−

1

q2+

1

q＝−(

1

q−

1

2)2+

1

4，当q=2时有最大值[1/4]，

所以当q=2时a₃有最小值4．

此时a1＝

1

q−1＝

1

2−1＝1．

所以数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1．

故答案为2^n-1．

点评：

本题考点： 等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查了等比数列的通项公式，考查了利用配方法求二次函数的最值，是基础题．