Question

如何证明两个随机变量X和Y独立同分布,那么X^2和Y^2也独立同分布?

Answer 1

显然由已知得:对任意k有

P{X=k}=P{Y=k},k>=0时令k=t^2有

P{X=t^2}=P{Y=t^2},所以X^2和Y^2是同分布的,这个比较显然

由已知得:EXY=EX*EY,DXY=0,

所以E(X^2 *Y^2)=E[(XY)^2]=DXY+(EXY)^2=(EXY)^2=(EX*EY)^2

=(EX)^2 * (EY)^2=((EX)^2+DX)*((EY)^2+DY)=EX^2 * EY^2

所以X^2和Y^2也独立

从而X^2和Y^2独立同分布