Question

已知椭圆C 1 ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，其中F

Answer 1

（I）设点M为（x ₁，y ₁），

∵F ₂是抛物线y ²=4x的焦点，

∴F ₂（1，0）；

又|MF ₂|=

5

3 ，由抛物线定义知

x ₁+1=

5

3 ，即x ₁=

2

3 ；

由M是C ₁与C ₂的交点，

∴y ₁ ²=4x ₁，即y ₁=±

2

6

3 ，这里取y ₁=

2

6

3 ；

又点M（

2

3 ，

2

6

3 ）在C ₁上，

∴

4

9 a 2 +

8

3 b 2 =1，且b ²=a ²-1，

∴9a ⁴-37a ²+4=0，∴ a 2 =4或 a 2 =

1

9 ＜ c 2 （舍去），

∴a ²=4，b ²=3；

∴椭圆C ₁的方程为：

x 2

4 +

y 2

3 =1

（II）∵直线BD的方程为：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，

不妨设直线AC的方程为x+y=m，

则

x+y=m

x 2

4 +

y 2

3 =1

∴消去y，得7x ²-8mx+4m ²-12=0；

∵点A、C在椭圆C ₁上，

∴（-8m） ²-4×7×（4m ²-12）＞0，即m ²＜7，∴-

7 ＜m＜

7 ；

设A（x ₁，y ₁），C（x ₂，y ₂），

则x ₁+x ₂=

8m

7 ，y ₁+y ₂=（-x ₁+m）+（-x ₂+m）=-（x ₁+x ₂）+2m=-

8m

7 +2m=

6m

7 ，

∴AC的中点坐标为 (

4m

7 ，

3m

7 ) ，

由菱形ABCD知，点 (

4m

7 ，

3m

7 ) 也在直线BD：7x-7y+1=0上，

即7×

4m

7 -7×

3m

7 +1=0，∴m=-1，由m=-1∈ (-

7 ，

7 ) 知：

直线AC的方程为：x+y=-1，即x+y+1=0．