Question

设n阶矩阵A是可逆矩阵且A的每行的元素的和是常量a .求证1、a 不等于0 ;2、A的逆矩阵的每行的元素的和为1/a

Answer 1

因为 A的每行的元素的和是常量a

所以 A (1,1,...,1)^T = a(1,1,...,1)^T

即 a 是A特征值

而 A 的所有特征值的乘积等于 |A|,由A可逆,|A|≠0

所以 a≠0.

A^-1 的特征值是 1/a,对应的特征向量仍是 (1,1,...,1)^T

所以 A的逆矩阵的每行的元素的和为1/a.