解题思路：根据折叠得出AD=AE，DC=CE，∠DAC=∠BAC，根据平行线的性质推出AD=DC，根据等边三角形的判定推出等边三角形CEB，推出BC=CE=AD，即可得到答案；证出△CEB是等边三角形，推出BC=BE=CE，根据AE=CE，即可推出答案．
∵将纸片沿着对角线AC折叠，折叠后点D刚好落在AB边上的点E处，
∴AD=AE，DC=CE，∠DAC=∠BAC，
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DC=AD，
∴AD=DC=CE=AE，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=CE，
∵∠B=60°，
∴三角形CEB时等边三角形，
∴BC=CE=AD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴小明说法正确；
∵等腰梯形ABCD，
∴BC=AD，
∵AD=CE，
∴BC=CE，
∵∠B=60°，
∴三角形CEB是等边三角形，
∴BC=CE=BE，
∵CE=AE，
∴AE=BE，
∴E是AB的中点，
∴小亮说法正确；
故选A．
点评：
本题考点： 等腰梯形的判定；平行线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰梯形的性质；翻折变换（折叠问题）．
考点点评： 本题主要考查对等腰三角形的判定，等腰梯形的性质和判定，平行线的性质，等边三角形的性质和判定，翻折变换（折叠问题）等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．