Question

运用技巧可以顺利的解决问题,如下面的问题就是采用了“借”的技巧.

Answer 1

借1/(1-x)

原式1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）

=1/（x+1）+1/(1-x) +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)

=2/(1-x^2)+2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)

=4/（1-x^4）+4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)

=8/（1-x^8）-8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)

=16/（1-x^16）-16/（1-x^16）-1/(1-x)

=-1/(1-x) 1/（x+1）+1/(1-x)=2/(1-x^2)所以

1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）

=1/(1-x)+1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)

=16/(1-x^16)-16/（1-x^16）-1/(1-x)

=1/(x-1)1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）

=[1/(1-x)+1/（x+1）] +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)

=[2/(1-x^2)+2/(1+x^2) ] + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)

=……

=16/(1-x^16)-16/(1-x^16)-1/(1-x)

=-1/(1-x) 2/(1-x^2)所以有16/（1-x^16）=8/（1+x^8）+8/(1-x^8)

8/（1-x^8）=4/（1+x^4）+4/（1-x^4）

4/（1-x^4）=2/(1+x^2)+2/(1-x^2)

最后

1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）

=1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-{8/（1+x^8）+2/(1+x^2) + 4/（1+x^4)+1/（1+x)+1/(1-x)}

=1/(x-1)