Question

（2013•南通一模）已知直线y=ax+3与圆x2+y2+2x-8=0相交于A，B两点，点P（x0，y0）在直线y=2x

Answer 1

解题思路：由题意可得CP垂直平分AB，且 y₀=2x₀．由

2x

0

−0

x

0

+1

•a

=-1，解得 x₀=[−1/2a+1]．把直线y=ax+3代入圆x²+y²+2x-8=0化为关于x的一元二次方程，由△＞0，求得a的范围，从而可得x₀的取值范围．

圆x²+y²+2x-8=0 即 （x+1）²+y²=9，表示以C（-1，0）为圆心，半径等于3的圆．

∵PA=PB，∴CP垂直平分AB，∵P（x₀，y₀）在直线y=2x上，∴y₀=2x₀．

又CP的斜率等于

2x0−0

x0+1，∴

2x0−0

x0+1•a=-1，解得 x₀=[−1/2a+1]．

把直线y=ax+3代入圆x²+y²+2x-8=0可得，（a²+1）x²+（6a+2）x+1=0．

由△=（6a+2）²-4（a²+1）＞0，求得 a＞0，或a＜-[3/4]．

∴-1＜[−1/2a+1]＜0，或 0＜[−1/2a+1]＜2．

故x₀的取值范围为 （-1，0）∪（0，2），

故答案为 （-1，0）∪（0，2）．

点评：

本题考点： 直线与圆相交的性质．

考点点评： 本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．