Question

（2010•吉安二模）设数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，对每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入2k-1个

Answer 1

解题思路：（1）因为在数列{b_n}中，对每一个K∈N^*，在a_k与a_k+1之间有2^k-1个2，所以a₁₀在数列{b_n}中的项数为：10+1+2+4+…+2⁸故问题得解；

（2）先根据条件求出a_m及其前面所有项之和的表达式2ⁿ+n²-2，再根据2¹⁰+10²-2=1122＜2010＜2¹¹+11²-2，即可找到满足条件的m的值；

（3）由（2）知B_f（m）=2^m+m²-2又A_m=1+3+5+…+（2m-1）=m²，要比较B_f（m）与2A_m的大小，作差，再进行讨论即可．

（1）在数列{b_n}中，对每一个K∈N^*，

在a_k与a_k+1之间有2^k-1个2，∴a₁₀在数列{b_n}中的项数为：10+1+2+4+…+2⁸…（2分）

=10+

1−29

1−2＝521即a10是数列{bn}中第521项…（3分）

（2）a_n=1+（n-1）•2=2n-1，在数列{b_n}中，a_n及其前面所有项的和为：[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+4+…+2^n-1）=n2+

2×(1−2n−1)

1−2＝2n+n2−2…（5分）

∵2¹⁰+10²-2=1122＜2010＜2¹¹+11²-2

且2010-1122=888=444×2

∴存在m=521+444=965，使得B_m=2010…（8分）

（3）由（2）知B_f（m）=2^m+m²-2又A_m=1+3+5+…+（2m-1）=m²

∴B_f（m）-2A_m=（2^m+m²-2）-2m²=2^m-（m²+2）…（10分）

当m=1时，2^m=2，m²+2=3，故2^m＜m²+2；

当m=2时，2^m=4，m²+2=6，故2^m＜m²+2；

当m=3时，2^m=8，m²+2=11，故2^m＜m²+2；

当m=4时，2^m=16，m²+2=18，故2^m＜m²+2； …（12分）

当m≥5时，2m＝1+

C1m+

C2m+…+

Cm−2m+

Cm−1m+1≥2(1+m+

m(m−1)

2)

因而当m=1，2，3，4时，B_f（m）＜2A_m；

当m≥5时且m∈N^*时，B_f（m）＞2A_m…（14分）

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列的函数特性；数列的求和．

考点点评： 本题综合考查了数列与函数的知识．解决第（2）问的关键在于求出am及其前面所有项之和的表达式，有一定的难度．