Question

微分方程y″+y=-2x的通解为______．

Answer 1

解题思路：利用线性微分方程解的结构定理进行求解．

齐次方程 y″+y=0对应的特征方程为：λ²+1=0，

则特征根为：λ_1，2=±i，

其通解为：

.

y=C₁cosx+C₂sinx，

因为非齐次项为：f（x）=-2x=-2xe⁰，且λ=0不是特征根，

故可设非齐次方程的特解为：y^*=A+Bx，

代入原方程，可得：A=0，B=-2，

所以：y^*=-2x，

因此所求问题的通解为：

y=

.

y+y*=C₁cosx+C₂sinx-2x，

故答案为：C₁cosx+C₂sinx-2x．

点评：

本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程．

考点点评： 本题考查了二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法．当非齐次项具有 eaxPn（Pn为次数不超过n的多项式）的形式时，若a不是特征根，则可设其特解为次数不超过n的多项式．