Question

设ab属于R,且a不等于2,定义在区间（—b,b）内的函数fx=lg1+ax/1+2x是奇函数.

Answer 1

1、f(-x)＝lg[(1－ax)/(1－2x)]＝－f(x)＝－lg[(1＋ax)/(1＋2x)]

所以,[(1－ax)/(1－2x)]×[(1＋ax)/(1＋2x)]＝1,得1－4x^2＝1－a^2x^2,所以a^2＝4,a≠2,所以a＝－2

f(x)＝lg[(1－2x)/(1＋2x)]的定义域是(－1/2,1/2),所以当0＜b＜1/2时,f(x)在区间(-b,b)内是奇函数

2、只考虑(0,1/2)内的单调性即可

(1－2x)/(1＋2x)＝2/(1＋2x)－1,

因为y＝1＋2x是增函数,y＝1/x是减函数,所以2/(1＋2x)在(0,1/2)内是减函数,所以(1－2x)/(1＋2x)是减函数

y＝lgx在(0,1/2)内是增函数,所以f(x)＝lg[(1－2x)/(1＋2x)]在(0,1/2)内单调减少

又f(x)是奇函数,所以f(x)在(－b,b)内单调减少