Question

已知函数f（x）=[1/3]x3-[1/2]（a+1）x2+ax，g（x）=f′（x）是函数f（x）的导函数，其中实数a

Answer 1

解题思路：（1）先求出导数f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），得到：当a＞1时，函数f（x）在（-∞，1）及（a，a+1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，由于f（0）=0，求出f（a+1）解不等式f（a）＞0，得1＜a＜3，解不等式f（a+1）＞0，得a＜2+3，从而得出函数f（x）在区间[0，a+1]内零点的个数；（2）令h（x）=g（x）-ex，z则h（0）=g（0）-1=a-1＜0，下面我们只需证明h（x）在[0，+∞）上单调递减．令t（x）=h′（x）=2x-（a+1）-ex，求出其导数，先研究t（x）的单调性，再利用导数求解t（x）在R上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．

（1）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）

当a＞1时，函数f（x）在（-∞，1）及（a，a+1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，

f（a+1）=-[1/6(a+1)3+（a+1）a=−

1

6(a+1)(a2−4a+1)，

解不等式f（a）＞0，得1＜a＜3，解不等式f（a+1）＞0，得a＜2+

3]

函数f（x）在区间[0，a+1]的零点，当1＜a＜3时只有一个；当a=3时有两个；当3＜a≤2+

3时有三个零点，当a＞2+

3时有两个零点．

（2）令h（x）=g（x）-e^x，z则h（0）=g（0）-1=a-1＜0

我们只需证明h（x）在[0，+∞）上单调递减．

令t（x）=h′（x）=2x-（a+1）-e^x，则t′（x）=2-e^x，令2-e^x=0得x=ln2．

∴t（x）的最大值是t（ln2）=2ln2-（a+1）-e^ln2=2ln2-（a+1）-2＜2ln2-2＜0

∴t（x）＜0在[0，+∞）上恒成立

∴g（x）-e^x在（0，+∞）上单调递减，g（x）＜e^x在[0，+∞）上恒成立．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查的知识点是函数零点的判定定理，函数恒成立问题，利用导数求闭区间上的函数最值，（1）中根据已知条件构造构造关于b的不等式组是证明的关键；（2）中将不等式f（x）≤g（x）在 x∈(12，+∞)恒成立，转化为函数恒成立问题是解答的关键．