解题思路：（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．
（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．
（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．
（1）因为f(x)＝x−lnx，f′(x)＝1−
1
x＝
x−1
x，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．
（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．
又g′(x)＝
1−lnx
x2，所以当0＜x＜e时，=g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．
所以g（x）的最大值为g（e）=[1/e＜
1
2]，所以f(x)min−g(x)max＞
1
2，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+[1/2]．
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则f′(x)＝a−
1
x＝
ax−1
x，
①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae−1＝3，a＝
4
e，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．
②当0＜
1
a＜e时，f（x）在（0，[1/a]]上单调递减，f（x）在（[1/a]，e]上单调递增．
所以(x)min＝f(
1
a)＝1+lna＝3，a＝e2，满足条件．
③当[1/a≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae−1＝3，a＝
4
e]，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．
综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，运算量较大，综合性较强．