LZ请注意分辨,楼上drug2009的回答有问题.
第1题最后“=cos(x/2)cos(x/4)cos(x/8)..cos(x/2^n)*2^n/x”这个式子是错的,不可能得到结论.
第3题是Wallis公式,怎么可能两步就推出来?第一个等式应该利用了Euler的经典结果,但那个结果的证明可不容易!不能拿来直接用.
1.记T(n)=cos(x/2)*cos(x/4)*…*cos(x/2^n).则反复利用二倍角公式：2^n*sin(x/(2^n))T(n)=(2^n)cos(x/2)*cos(x/4)*…*cos(x/2^n))*sin(x/(2^n))=sinx.t->0时sint~t,所以n->∞时(2^n)sin(x/(2^n))->x.故n->∞时T(n)->sinx/x.
3.这就是Wallis公式[(2n)!]^2/[(2n-1)!]^2->π/2.Wallis有比较简单的证法,可以参看百度百科“Wallis公式”词条,那里写得很清楚.
2.此题较难.容易看出x=π/2+kπ时左右均为0,由此可以看出此式是如何想到的.此题与Euler的经典结果sinx=x(1-x²/π²)(1-x²/2π²)(1-x²/3π²)……形式上类似,证法也类似.而那是一个比较困难的问题(当年Euler只是猜出来了,没有严格证明),有初等解法,但较长.LZ可以参看《数学分析习题课讲义》(谢惠民等四人著,高等教育出版社)下册例13.4.3.此题的具体过程太长我就不写了,LZ可以看我说的那本书.如果没有的话可以追问我,我写个简要思路:-)