Question

一道线性代数方面的题目,如果n阶矩阵A中的所有元素都是1,求出A的所有特征值,

Answer 1

对行列式|λE-A|进行如下操作：

把A的第2,3,...,n列都加到第一列；

第一列提取公因子λ-n；

第一行乘以-1加到下面各行.

行列式化为上三角行列式,所以|A-λE|=(λ-n)×λ^(n-1).

所以A的特征值是n与n-1个0.

设向量α=(1,1,...,1)','代表转置,则矩阵A=αα'.

Aα=(αα')α=(α'α)α=nα,所以k×α是对应n的特征向量,k是任意实数.