Question

（2012•上高县模拟）已知数列{an}的前n项和Sn=-an-（[1/2]）n-1+2

Answer 1

解题思路：（1）由Sn=-an-（12）n-1+2，得Sn+1=-an+1-（12）n+2，两式相减可得an+1与an的递推关系，构造等差数列即可求解（2）由（1）及cnn+1=ann，可求cn，结合数列通项的特点，考虑利用错位相减求和方法即可求解

（1）由S_n=-a_n-（[1/2]）^n-1+2，得S_n+1=-a_n+1-（[1/2]）ⁿ+2，

两式相减，得a_n+1=[1/2]a_n+（[1/2]）ⁿ⁺¹．

因为S_n=-a_n-（[1/2]）^n-1+2，

令n=1，得a₁=[1/2]．

对于a_n+1=[1/2]a_n+（[1/2]）ⁿ⁺¹，

两端同时除以（[1/2]）ⁿ⁺¹，得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+1，

即数列{2ⁿa_n}是首项为2¹•a₁=1，公差为1的等差数列，

故2ⁿa_n=n，所以a_n=[n

2n•．--------（6分）

（2）由（1）及

cn/n+1]=

an

n，得c_n=（n+1）（[1/2]）ⁿ，

所以T_n=2×[1/2]+3×（[1/2]）²+4×（[1/2]）³+…+（n+1）（[1/2]）ⁿ，①

[1/2]T_n=2×（[1/2]）²+3×（[1/2]）³+4×（[1/2]）⁴+…+（n+1）（[1/2]）ⁿ⁺¹，②

由①-②，得[1/2]T_n=1+（[1/2]）²+（[1/2]）³+…+（

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．