解题思路：（Ⅰ）将f（x）=x+
9
x−3]（x＞3）转化为f（x）=x-3+[9/x−3]+3（x＞3），应用基本不等式即可求得函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得f（x）min=9，不等式
f(x)≥
t
t+1
+7
恒成立，转化为9≥[t/t+1]+7恒成立，从而求得实数t的取值范围．
（I）∵x＞3，
∴x-3＞0．
∴f(x)＝x+
9
x−3＝x−3+
9
x−3+3≥2
(x−3)•
9
x−3+3＝9．…（3分）
当且仅当x−3＝
9
x−3
即（x-3）2=9时上式取得等号，
又∵x＞3，
∴x=6，…（5分）
∴当x=6时，函数f（x）的最小值是9．…（6分）
（II）由（I）知，当x＞3时，f（x）的最小值是9，
要使不等式f(x)≥
t
t+1+7恒成立，只需9≥
t
t+1+7…（9分）
∴[t/t+1−2≤0即
−t−2
t+1≤0
解得t≤-2或t＞-1
∴实数t的取值范围是（-∞，-2]∪（-1，+∞）．…（12分）
点评：
本题考点： 基本不等式；函数的最值及其几何意义．
考点点评： 本题考查基本不等式，关键在于将所给的条件转化为能用基本不等式的式子，难点在于（Ⅱ）中不等式f(x)≥tt+1+7恒成立，转化为9≥[t/t+1]+7恒成立，属于难题．
1年前
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