首先,句子结构为【A man's first care（主语）】+ should be（谓语） +后面的非谓语动词短to aviod the reproaches of his own heart（非谓语动词短语整个充当句子的宾语）；
非谓语动词短语（注意不是句子）部分为to aviod the reproaches of his own heart,其中aviod 担任非谓语动词短语的及物动词（即可接宾语的动词）,后面的the reproaches of his own heart是avoid的宾语（这里的宾语不是句子的宾语,是动词的作用对象）,为了是这个动宾短语整体充当句子的宾语部分,在avoid前加一个to,使动词非谓语化（即可充当名词性成分）,是动宾短语整体成为句子的宾语.
用to aviod而不用avoiding 应该是因为这个要求人们还没有做到,所以还未发生,用不定式表示.