Question

已知a1=1，a2=4，an+2=4an+1+an，bn=an+1an，n∈N*

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由a₁=1，a₂=4，a_n+2=4a_n+1+a_n，可求得a₃=17，a₄=72，又b_n=

a

n+1

a

n

，n∈N^*，于是可求b₁，b₂，b₃的值；

（Ⅱ）由a_n+2=4a_n+1+a_n，得

a

n+2

a

n+1

=4+

a

n

a

n+1

，即b_n+1=4+

1

b

n

，由c_n=b_nb_n+1，可求得c₁=b₁b₂=17，当n≥2时，b_n＞4，c_n=b_nb_n+1=4b_n+1＞17（n≥2），于是易证S_n≥17n．

（Ⅰ）由于a₁=1，a₂=4，a_n+2=4a_n+1+a_n，

所以a₃=4a₂+a₁=17，a₄=4a₃+a₂=72，又b_n=

an+1

an，n∈N^*，

所以b₁=4，b₂=[17/4]，b₃=[72/17]；

（Ⅱ）证明：由a_n+2=4a_n+1+a_n，得

an+2

an+1=4+

an

an+1，即b_n+1=4+

1

bn，

所以当n≥2时，b_n＞4，

于是c₁=b₁b₂=17，c₂=b₂b₃=18，c_n=b_nb_n+1=4b_n+1＞17（n≥2）

所以S_n=c₁+c₂++c_n≥17n．

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的求和，着重考查数列递推式的应用，考查运算与求解能力，属于难题．