解题思路:由题意可知f(x)在D内是单调增函数,才为“成功函数”,从而可构造函数
f(x)=
1
2
x
,转化为求
lo
g
a
(
a
x
+k)=
1
2
x
有两异正根,k的范围可求.
因为函数f(x)=logc(cx+t),(c>0,c≠1)在其定义域内为增函数,
则函数y=f(x)为“成功函数”,
且 f(x)在[a,b]上的值域为 [
a
2,
b
2],
∴
f(a)=
a
2
f(b)=
b
2,即
logc(ca+t)=
1
2a
logc(cb+t)=
1
2b,
故 方程f(x)=
1
2x必有两个不同实数根,
∵logc(cx+t) =
1
2x等价于 cx+t=c
x
2,等价于cx−c
x
2+ t =0,
∴方程 m2-m+t=0 有两个不同的正数根,∴
△=1−4t>0
t>0
1>0,∴t∈(0,
1
4),
故选D.
点评:
本题考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数的定义域及其求法;函数的值域.
考点点评: 本题主要考查对数函数的定义域和单调性,求函数的值域,难点在于构造函数,转化为两函数有不同二交点,利用方程解决,属于难题.