Question

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上．

Answer 1

解题思路：（1）由OB=OC，得∠OBC=∠C=30°，而∠DBC=180°-∠D-∠C=180°-30°-30°=120°，则有∠OBD=120°-∠OBC=120°-30°=90°，即可得到结论；

（2）由BM⊥AC，FN⊥AC，可得S_△FAC：S_△BAC=FN：BM，FN∥BM，则△CFN∽△CBN，得到FN：BM=CN：CM，而CN：CM=2：3，△ABC的面积为12cm²，于是有S_△FAC：12=FN：BM=2：3，可计算出S_△FAC=8，由∠E=∠C，∠FBE=∠CAF可得△FBE∽△FAC，根据相似三角形的性质得到

S

△FBE

S

△FAC

=（[FB/FA]）²；由AC为⊙O的直径得到∠ABF=90°，而cos∠BFA=cos∠EFC=[2/3]，在Rt△ABF中，∠ABF=90°，cos∠BFA=[FB/FA]=[2/3]，利用

S

△FBE

S

△FAC

=（[FB/FA]）²；即可计算出△BFE的面积．

（1）证明：如图，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠C=30°，

而∠DBC=180°-∠D-∠C=180°-30°-30°=120°，

∴∠OBD=120°-∠OBC=120°-30°=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切线；

（2）∵BM⊥AC，FN⊥AC，

∴S_△FAC：S_△BAC=FN：BM，FN∥BM，

∴△CFN∽△CBN，

∴FN：BM=CN：CM，

而CN：CM=2：3，△ABC的面积为12cm²，

∴S_△FAC：12=FN：BM=2：3，

∴S_△FAC=8，

∵∠E=∠C，∠FBE=∠CAF，

∴△FBE∽△FAC，

∴

S△FBE

S△FAC=（[FB/FA]）²，

又∵cos∠EFC=[2/3]，

∴cos∠BFA=[2/3]，

而AC为⊙O的直径，

∴∠ABF=90°，

在Rt△ABF中，∠ABF=90°，cos∠BFA=[FB/FA]=[2/3]，

∴

S△FBE

S△FAC=（[FB/FA]）²，=（[2/3]）²，

∴S_△BFE=[4/9]×8=[32/9]．

点评：

本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题考查了圆的综合题：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；运用相似三角形的判定与性质得到线段和三角形面积的比例关系；同底等高的三角形的面积相等．