Question

已知f（x）=ax+lnx，x∈（0，e]，g(x)＝lnxx，其中e=2.71828…是自然对数的底数，a∈R．

Answer 1

（1）∵f（x）=-x+lnx，

f´（x）=-1+[1/x]=[1−x/x]，

∴当1＜x＜e时，f´（x）＜0，此时f（x）单调递减，当0＜x＜1时，f´（x）＞0，此时f（x） 单调递增，

∴f（x）的极大值为f（1）=-1．

（2）∵f（x）的极大值即f（x）在（0，e]上的最大值为-1

令h（x）=−g(x)−

1

2＝−

lnx

x−

1

2，

∴h/(x)＝

lnx−1

x2，

∴当0＜x＜e时，h´（x）＜0，且h（x）在x=e处连续

∴h（x）在（0，e]上单调递减，

∴h（x）_min=h（e）=[1/e−

1

2]＞-1=f（x）_max

∴当x∈（0，e]时，f(x)＜g(x)−

1

2

（3）假设存在实数a，使f（x）=ax+lnx有最大值-3，x∈（0，e]，

f´（x）=a+

1

x，

①当a≥−

1

e时，由于x∈（0，e]，则f´（x）=a+

1

x≥0且f（x） 在x=e处连续

∴函数f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函数，

∴f（x）_max=f（e）=ae+1=-3，解得a＝−

4

e＜−

1

e（舍去）．

②当a＜−

1

e时，

则当-[1/a]＜x＜e时，f´（x）=a+

1

x＜0，此时f（x）=ax+lnx 是减函数，

当0＜x＜−

1

a时，f´（x）=a+

1

x＞0此时f（x）=f（x）=ax+lnx 是增函数，

∴f（x）_max=f（-[1/a]）=-1+ln（−

1

a）=-3，解得a=-e²．

由①、②知，存在实数a=-e²，使得当x∈（0，e]，时f（x）有最大值-3．