函数y=f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对 - 知识问答

函数y=f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、y∈R，都满足f（x）•f（y）=f（x+y），则下列四个

1个回答

令x=y=0代入f（x）•f（y）=f（x+y），
所以f（0）•f（0）=f（0），
解得：f（0）=0或者f（0）=1．
令x=0代入f（x）•f（y）=f（x+y），可得代入f（0）•f（y）=f（y），
因为函数y=f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，
所以f（0）=1．
所以（3）正确．
因为对于任意x∈R，都有 f(x)=f(
x
2 +
x
2 )= [f(
x
2 )] 2 ≥0 ，并且 f(
x
2 )≠0 ，
所以f（x）＞0．
所以（2）正确．
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]，
因为x₁-x₂＜0，
所以f（x₁-x₂）＞f（0）=1，
所以f（x₁-x₂）-1＞0．
又因为f（x₂）＞0，
所以f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在R上是减函数．
所以（4）正确．
故选C．

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