要全面、要具体

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  • 数学定理

    三角形三条边的关系

    定理:三角形两边的和大于第三边

    推论:三角形两边的差小于第三边

    三角形内角和

    三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

    推论1 直角三角形的两个锐角互余

    推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

    推论3 三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角

    角的平分线

    性质定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

    几何语言:

    ∵OC是∠AOB的角平分线(或者∠AOC=∠BOC)

    PE⊥OA,PF⊥OB

    点P在OC上

    ∴PE=PF(角平分线性质定理)

    判定定理 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上

    几何语言:

    ∵PE⊥OA,PF⊥OB

    PE=PF

    ∴点P在∠AOB的角平分线上(角平分线判定定理)

    等腰三角形的性质

    等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等

    几何语言:

    ∵AB=AC

    ∴∠B=∠C(等边对等角)

    推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

    几何语言:

    (1)∵AB=AC,BD=DC

    ∴∠1=∠2,AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

    (2)∵AB=AC,∠1=∠2

    ∴AD⊥BC,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

    (3)∵AB=AC,AD⊥BC

    ∴∠1=∠2,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

    推论2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角等于60°

    几何语言:

    ∵AB=AC=BC

    ∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°)

    等腰三角形的判定

    判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等

    几何语言:

    ∵∠B=∠C

    ∴AB=AC(等角对等边)

    推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

    几何语言:

    ∵∠A=∠B=∠C

    ∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形)

    推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

    几何语言:

    ∵AB=AC,∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

    ∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)

    推论3 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

    几何语言:

    ∵∠C=90°,∠B=30°

    ∴BC= AB或者AB=2BC(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)

    线段的垂直平分线

    定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

    几何语言:

    ∵MN⊥AB于C,AB=BC,(MN垂直平分AB)

    点P为MN上任一点

    ∴PA=PB(线段垂直平分线性质)

    逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

    几何语言:

    ∵PA=PB

    ∴点P在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)

    轴对称和轴对称图形

    定理1 关于某条之间对称的两个图形是全等形

    定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

    定理3 两个图形关于某直线对称,若它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

    逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那这两个图形关于这条直线对称

    勾股定理

    勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和,等于斜边c的平方,即

    a2 + b2 = c2

    勾股定理的逆定理

    勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系,那么这个三角形是直角三角形

    四边形

    定理 任意四边形的内角和等于360°

    多边形内角和

    定理 多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n - 2)·180°

    推论 任意多边形的外角和等于360°

    平行四边形及其性质

    性质定理1 平行四边形的对角相等

    性质定理2 平行四边形的对边相等

    推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

    性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

    几何语言:

    ∵四边形ABCD是平行四边形

    ∴AD‖BC,AB‖CD(平行四边形的对角相等)

    ∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对边相等)

    AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)

    平行四边形的判定

    判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形

    几何语言:

    ∵AD‖BC,AB‖CD

    ∴四边形ABCD是平行四边形

    (两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

    判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

    几何语言:

    ∵∠A=∠C,∠B=∠D

    ∴四边形ABCD是平行四边形

    (两组对角分别相等的四边形是平行四边形)

    判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

    几何语言:

    ∵AD=BC,AB=CD

    ∴四边形ABCD是平行四边形

    (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)

    判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形

    几何语言:

    ∵AO=CO,BO=DO

    ∴四边形ABCD是平行四边形

    (对角线互相平分的四边形是平行四边形)

    判定定理5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

    几何语言:

    ∵AD‖BC,AD=BC

    ∴四边形ABCD是平行四边形

    (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

    矩形

    性质定理1 矩形的四个角都是直角

    性质定理2 矩形的对角线相等

    几何语言:

    ∵四边形ABCD是矩形

    ∴AC=BD(矩形的对角线相等)

    ∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角)

    推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

    几何语言:

    ∵△ABC为直角三角形,AO=OC

    ∴BO= AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

    判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

    几何语言:

    ∵∠A=∠B=∠C=90°

    ∴四边形ABCD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)

    判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

    几何语言:

    ∵AC=BD

    ∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)

    菱形

    性质定理1 菱形的四条边都相等

    性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

    几何语言:

    ∵四边形ABCD是菱形

    ∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等)

    AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC

    (菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角)

    判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

    几何语言:

    ∵AB=BC=CD=AD

    ∴四边形ABCD是菱形(四边都相等的四边形是菱形)

    判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

    几何语言:

    ∵AC⊥BD,AO=CO,BO=DO

    ∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

    正方形

    性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等

    性质定理2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

    中心对称和中心对称图形

    定理1 关于中心对称的两个图形是全等形

    定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分

    逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

    梯形

    等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

    几何语言:

    ∵四边形ABCD是等腰梯形

    ∴∠A=∠B,∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等)

    等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

    几何语言:

    ∵∠A=∠B,∠C=∠D

    ∴四边形ABCD是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)

    三角形、梯形中位线

    三角形中位线定理 三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半

    几何语言:

    ∵EF是三角形的中位线

    ∴EF= AB(三角形中位线定理)

    梯形中位线定理 梯形的中位线平行与两底,并且等于两底和的一半

    几何语言:

    ∵EF是梯形的中位线

    ∴EF= (AB+CD)(梯形中位线定理)

    比例线段

    1、 比例的基本性质

    如果a∶b=c∶d,那么ad=bc

    2、 合比性质

    3、 等比性质

    平行线分线段成比例定理

    平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例

    几何语言:

    ∵l‖p‖a

    (三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例)

    推论 平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例

    定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行与三角形的第三边

    垂直于弦的直径

    垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧

    几何语言:

    ∵OC⊥AB,OC过圆心

    (垂径定理)

    推论1

    (1) 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

    几何语言:

    ∵OC⊥AB,AC=BC,AB不是直径

    (平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧)

    (2) 弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧

    几何语言:

    ∵AC=BC,OC过圆心

    (弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧)

    (3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

    几何语言:

    (平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧)

    推论2 圆的两条平分弦所夹的弧相等

    几何语言:∵AB‖CD

    圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

    定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距也相等

    推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

    圆周角

    定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

    推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

    推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角

    推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

    圆的内接四边形

    定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

    几何语言:

    ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

    ∴∠A+∠C=180°,∠B+∠ADB=180°,∠B=∠ADE

    切线的判定和性质

    切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

    几何语言:∵l ⊥OA,点A在⊙O上

    ∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)

    切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径

    几何语言:∵OA是⊙O的半径,直线l切⊙O于点A

    ∴l ⊥OA(切线性质定理)

    推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

    推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

    切线长定理

    定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

    几何语言:∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点

    ∴PA=PC,∠APO=∠CPO(切线长定理)

    弦切角

    弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

    几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠A所对的是

    ∴∠BCN=∠A

    推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

    几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠ACM所对的是 , =

    ∴∠BCN=∠ACM

    和圆有关的比例线段

    相交弦定理:圆内的两条相交弦,被焦点分成的两条线段长的积相等

    几何语言:∵弦AB、CD交于点P

    ∴PA·PB=PC·PD(相交弦定理)

    推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

    几何语言:∵AB是直径,CD⊥AB于点P

    ∴PC2=PA·PB(相交弦定理推论)

    切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

    几何语言:∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线

    ∴PT2=PA·PB(切割线定理)

    推论 从圆外一点因圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等

    几何语言:∵PBA、PDC是⊙O的割线

    ∴PT2=PA·PB(切割线定理推论)