中心在原点,一个焦点为F1(0,5√2)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2,求此椭圆的方程.

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  • 有题知c=5√2,a^2=b^2+50,即椭圆方程为y^2/a^2+x^2/(a^2-50)=1,设直线与椭圆的两个交点为m(x1,y1),n(x2,y2),带入椭圆方程得(y1)^2/a^2+(x1)^2/(a^2-50)^2,(y2)^2/a^2+(x2)^2/(a^2-50)=1,两个方程相减得(y1+y2)/(x1+x2)=-[(x2-x1)(a^2)]/[(y2-y1)(a^2-50)].①.有题知直线斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=3,x1+x2=2×1/2=1,y1+y2=3(x1+x2)-4=-1,代入①解得a^2=75,从而b^=25,即所求椭圆方程为x^2/25+y^2/75=1.