（1）∵∠BFE=90°,点P为DE的中点
∴PF=PD=PE,
同理可得PC=PD=PE,
∴PC=PF,
又∵∠FPE=2∠FDP,∠CPE=2∠PDC,
∴∠FPC=2∠FDC=90°,
所以PC=PF,PC⊥PF．
（2）PC⊥PF,PF=PC．理由如下：
延长FP至G使PG=PF,连DG,GC,FC,延长EF交BD于N,如图,
∵点P为DE的中点,
∴△PDG≌△PEF,
∴DG=EF=BF．
∴∠PEF=∠PDG,
∴EN∥DG,
∴∠BNE=∠BDG=45°+∠CDG=90°-∠NBF=90°-（45°-∠FBC）
∴∠FBC=∠GDC,
∴△BFC≌△DGC,
∴FC=CG,∠BCF=∠DCG．
∴∠FCG=∠BCD=90°．
∴△FCG为等腰Rt△,
∵PF=PG,
∴PC⊥PF,PF=PC．
（3）设AE=2x,则PE=PF=x,AP=$sqrt{5}$x,PB=AB-$sqrt{5}$x,
∵Rt△AEP∽Rt△FBP,
∴$frac{x}{AB-sqrt{5}x}$=$frac{sqrt{5}x}{x}$,
∴x=$frac{sqrt{5}-1}{4}$．
∴AE=2x=$frac{sqrt{5}-1}{2}$AB．
故答案为PC=PF,PC⊥PF；